第6章 a组好牛

第二天,江煜醒来伸了个懒腰,心想:“再也不想喝酒了,昨天晚上……靠!真是疯了。还好没做什么出格的事儿。”突然,他想起昨天自己的逆天行为——“老芹啊!我给你唱一个,一闪一闪亮晶晶,满天都是小星星~好听嘛~是不是被我帅到了?”

帅个屁啊,丢死人了好嘛,不喝酒还好,一喝酒醒来都是惊‘喜’啊!再也不会喝酒了,那是最后一次……江煜在心里默哀着。

叮咚……江煜手机在床上颤了颤,他拿起手机看了一眼,发现是贺芹便接了电话:

——江煜,你现在在哪?还在酒店嘛?

——嗯,你有什么事啊?

那边貌似是沉默了,江煜见那人不说话,便烦躁的说:

——有屁快放,没有就滚,我困死了好嘛!

神如经……到底怎么了?

——忘记比赛了?今天下午啊,下午一点半左右就要到校,懂吗?

——噢……忘不了的。放心好了!

——好,先挂了。

——嗯,拜拜!

江煜其实就是忘了这事儿,他飞快的穿好衣服,在外面随便吃点东西就直接回学校了,他长腿迈进校园,发现早已有人等候,有贺芹、李铭还有杜老师,江煜打了声招呼:“抱歉,让你们久等了。”

杜老师笑着拍拍江煜的头说:“没事,也都刚到。”

贺芹看了他一眼没说什么,杜老师看了!一眼表,发现时间还早便索性就让他们在四楼报告厅等着。

他们坐在一起,可谁也没有说话,这时杜老师拿着剥好的核桃仁一人分了一半,他说:“哎,老师知道你们肯定能的,相信自己!吃点儿核桃补补脑子。”

补什么脑子?

李铭他们点点头,李铭笑着说:“老师烤核桃更好吃,下次吃烤核桃!”老杜拍了拍李铭的头笑道:“你小子!挺能吃啊!哈哈哈!”

江煜偷偷的笑了一下,贺芹看到了便问道:“你在笑什么?”江煜有心逗他笑着说:“突然想起一件特别伤心的事儿,比如……嗯!”

“什么事儿?”

“纯逗你……哈哈哈哈哈~”

“你今天出来没吃药?”

“没有啊?”江煜没听出来什么不对。杜老师笑着说:“江煜啊,语文好好学啊,咱芹儿骂你有病呢。。。”

有病…江煜是很贱的人嘛~答案是的!有时候是……

比赛开始了,也有其他地方的学生来比赛,他们各自找了位置坐下,一位老师亮出以下是一道高二导数相关的压轴题:

题目

已知函数f(x)=e^{x}-ax - 1(a\in R)。

当a = 1时,求函数f(x)的单调区间;

若函数F(x)=f(x)-\frac{1}{2}x^{2}在[1, \infty)上单调递增,求实数a的取值范围;

当a = 1时,求证:对于任意的x\in(0, \infty),\frac{f(x)}{x}-\ln x \frac{1}{x}\geqslant1。

江煜心想:“就这?”他抢先一步按下回答键,老师示意他回答,他大布走向白板写了起来:

求函数单调区间(a = 1时)

- 当a = 1时,f(x)=e^{x}-x - 1,对f(x)求导得f^\prime(x)=e^{x}-1。

- 令f^\prime(x)=0,即e^{x}-1 = 0,解得x = 0。

- 当x\lt0时,e^{x}-1\lt0,f^\prime(x)\lt0,函数f(x)单调递减;

- 当x\gt0时,e^{x}-1\gt0,f^\prime(x)\gt0,函数f(x)单调递增。

- 所以f(x)的单调递减区间是(-\infty,0),单调递增区间是(0, \infty)。

求a的取值范围(F(x)单调递增)

- 已知F(x)=e^{x}-ax - 1-\frac{1}{2}x^{2},对F(x)求导得F^\prime(x)=e^{x}-a - x。

- 因为F(x)在[1, \infty)上单调递增,所以F^\prime(x)\geqslant0在[1, \infty)上恒成立。

- 即e^{x}-a - x\geqslant0在[1, \infty)上恒成立,那么a\leqslant e^{x}-x在[1, \infty)上恒成立。

- 令g(x)=e^{x}-x,x\in[1, \infty),对g(x)求导得g^\prime(x)=e^{x}-1。

- 当x\in[1, \infty)时,g^\prime(x)=e^{x}-1\gt0,所以g(x)在[1, \infty)上单调递增。

- 则g(x)_{\min}=g(1)=e - 1,所以a\leqslant e - 1。

证明不等式(a = 1时)

- 当a = 1时,要证\frac{f(x)}{x}-\ln x \frac{1}{x}\geqslant1,即证\frac{e^{x}-x - 1}{x}-\ln x \frac{1}{x}\geqslant1,也就是证\frac{e^{x}-x - 1 1}{x}-\ln x\geqslant1,即证\frac{e^{x}-x}{x}-\ln x\geqslant1。

- 令h(x)=\frac{e^{x}-x}{x}-\ln x,x\in(0, \infty),对h(x)求导得h^\prime(x)=\frac{(e^{x}-1)x-(e^{x}-x)}{x^{2}}-\frac{1}{x}。

- 化简h^\pr

旁边的主持说:“a组江煜答对!下一题。”

……

就这样比赛持续到晚上十一点多才结束。江煜跟大家道别就回家了,刚打开门就看到夜荷坐在沙发上好像在等人,看起来很焦急,江煜笑着坐在他身边:“夜荷!哈哈哈,你在干嘛?”

夜荷看了他一眼说:“江煜你吓死我和奶奶了好嘛!打电话不接,你去哪了?”

他愣了一下说:“我去参加竞赛了,怎么了嘛?”

夜荷拍了拍自己说:“奶奶打电话给我问你今天晚上回来了没,奶奶和她闺蜜去度假了,让我照顾你,所以说你老老实实的,啊!江煜。”

要老老实实的……

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